가정이 거짓인 명제

명제 p ,  q 에 대하여 p -> q 가 어떤 진리표를 갖는지 조사할 때 다음과 같은 의문이 들었습니다.

p	q	p -> q
T	T	T
T	F	F
F	T	?
F	F	?

위 표에서 아래 두 개 진리 값에 대한 이해가 문제였죠.

흔히 truth table을 그냥 받아들입니다. 그러나 그게 싫어서 검색 해봤습니다.

아래는 그와 관련된 답변입니다.

답변 1 : "가정이 거짓이면 합성 명제가 참이라고 하기로 수학자들끼리 약속했다."

이에 대한 간단한 반론은 아래...

처음 접한 답변 입니다. 하지만 그냥 약속이라고 하고 넘어가기엔 구체적이지 않고 단순했습니다.

이말인 즉슨 공리라는 사실인데 검색해본 결과 그런 공리는 없었습니다.

그래서 이 답은 보류~

다른 답변입니다.

답변 2 : "p->q 는 명제이므로  참 또는 거짓이다. (either true or false) 

그리고 p가 거짓일 때 p->q이 거짓이라고 임을 밝혀 주는 반례를 찾을 수 없으므로 거짓이 아니고 배중률에 의해  명제는 항상 참이다." 

오 뭔가 수학스러우면서 답이 되는 것 같았습니다.

그리고 한동안 맞다고 생각했죠. 

그러나  "p가 거짓일 때 p->q가 거짓이라고 할 수 없다."의 증명이 의문이 들었습니다. 

결론적으로 답변2는 얼추 맞는 말 같으면서 이는 다음과 같은 말을 만들어 냅니다. 

"p가 거짓일 때 p->q가 참이라고도 할 수 없다". 

이 말도 가능하겠습니다. 왜냐하면 p에 대한 논리를 필 수 없기 때문이죠.

(찾다보니 배중률에 의해 이 문제가 발생한다는 이야기도 봤는데 그것도 이해가 안됩니다. 배중률이 만들어내는 문제의 시작점이 이 곳임은 맞지만 가정이 거짓인 명제가 항상 참이 된다는 사실과는 다른 이야기로 보입니다.)

그리고 이런 답변도 찾았습니다.

답변3 : "가정이 거짓인 명제가 거짓이라면 이는 현실세계에서 무쓸모다. 즉 참인게 더 쓸모있다. 그래서 수학자들은 그렇게  정했다."

이 말도 잘 모르겠습니다. 수학자가 쓸모에 의해서 그랬을리도 없고요. 오히려 가정인 명제가 거짓일 때 p->q 는 p&q와  진리표가 같습니다. 오히려 복잡한 경우를 생각하지 않는 편한 세상이 왔을 수도... (참고로 너무 비수학적인 표현이죠. )

모오르겠다... 

이렇게 검색 신공을 시전하다가 다음과 같은 키워드를 찾았습니다.

찾은 키워드는 "vacuous true" 

"멍청한 참, 허무한 참"으로 해석됩니다. 

그리고 이 것을 공집합과 연관지어 증명합니다.

p->q 가 참인지 거짓인지 판정을 하려고 할 때, p 가 거짓이면  q 의 참 거짓 여부에 상관없이 참이 되는 상황을 

"공집합은 모든 집합의 부분집합이다"으로 증명합니다. 

즉, p가 거짓이면 그것은 아무것도 없는 공집합을 가리키고 결론(q)이 가리키는 집합이 어떤 것이더라도 이 명제는 항상 참이 된다라는 것입니다. 이를 위해선 공집합이 모든 집합의 부분집합임을 증명해야 할텐데 이것은 굳이...

아래는 이 증명을 발견한 곳에서 추가적으로 발췌한 내용입니다.

위 증명을 ZFC(Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice) 관련 에세이에서 찾았는데 (정확하게 ZFC는 아닌 거 같은...)

중간에 empty set 공리에 이런 내용이 있습니다.

"Without proof, we use the following identity from logic: (p =⇒ q) ≡ ¬p ∨ q. "   ...Zermelo-Frankel Set Theory and Well Orderings Menaka Lashitha Bandara 16 May 2006

보시다시피 p=>q 를 증명없이 논리적 기호로 치환합니다. 그리고 이를 이용해 vacuous true를 증명합니다. p->q 에서 p 가 거짓일 때를 참 거짓을 증명하고 싶은데 이미 그것과 동치인 진리표가 나와있는 형국이랄까요? 그렇다고 순환 논증의 오류라는 말은 아닙니다. (위 에쎄이에서는 Axiom에 empty set을 넣습니다. 원래의 ZFC에 그런 공리는 없습니다.)

그리고 ZFC에서는  empty set을 Axiom of Extensionality 에서 증명합니다. 또한 statement 에 대한 이야기도 없습니다. 

지금까지 내용을 정리를 해보면...

(1) vacuous true 를 확인하기 위해선 어떤 집합 체계를 선택해야 합니다.

(2) 그리고 sentence를 build해야 합니다. (statement 정의하기)

(3) empty set에 대한 정의를 이끌어 낼 수 있어야 합니다.

그런 후에야

 "vacuous true에 대한 명제 문제는 공집합의 존재와 연관지어 증명할 수 있다."

이 것입니다.

아직까지 열린 결말입니다.

좀 더 과격하게 지어도 되는데 장담할 수 는 없습니다. 수학을 놓은지 오래라 잘못된 해석에 대한 지적, 올바른 증명을 알려주시면 그저 감사할 따릅니다.

참고로 ZFC에선 ∈ 이 기호로 집합론을 설명할 수 있다네요. 이는 더 공부해봐야겠습니다.

<참고>

아래는 wiki에서 vacuous truth 에 관한 사람들 간의 대화내용

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3AVacuous_truth

더 찾아볼 내용

• 체르멜로-프렝켈 집합론
 
• 새 기초
 
• 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론
 
• 모스-켈리 집합론